선형대수학(Linear Algebra) 개요

참고

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99

https://namu.wiki/w/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99

 

 

 

 

수학은 추상화의 학문
- 추상화: 세부 사항을 제거하고 본질에 집중(복잡->단순); 복잡하고 다양한 현상이나 개념에서 핵심적인 구조나 원리를 추출
  cf) 일반화: 특정한 사례나 패턴을 더 넓은 범위로 확장 (특수->일반)
- 장점: 복잡하고 다양한 여러 가지 서로 다른 상황을 공통된 틀에서 이해하고 분석할 수 있다.
  * 예: 사과 한 개 -> 개수(추상적 개념) -> '1'

선형대수학에서 추상화 예시
- 벡터공간: 물리적 의미의 벡터를 추상화
  * 직관적으로 상상하는 유클리드 기하학의 그 벡터가 아니다
  cf) 고등학교 수학, 물리: 크기와 방향을 가지는 양; 여기선 그런거 필요없음
  * 다항식, 함수, 행렬, ...

선형대수학 특징
- 어려움: 비직관적이고 추상적인 대상을 공부하는 과목
- 고교수학적 직관과 현대수학적 논리가 격하게 충돌
- 추상적 개념과 엄밀한 증명의 사용을 연습하는 장
- 언어를 배운다고 생각해도 좋음

cf) 대수학 vs 해석학(선형대수학 vs 해석개론)
- 해석학 정의: (위상적, 대수적 성질을 갖춘) 공간과 (공간에서 정의된) 함수(의 성질을) 연구
- 해석학: 결과를 미리 알고 과정에서 고통받는 과목
- 대수학은 과정을 미리 알고 결과에서 고통받는 과목

 

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선형대수학(Linear Algebra)

덧셈과 상수곱 구조를 갖고 있는 벡터공간과 그 위에서 정의되고 벡터공간의 연산 구조를 보존하는 함수인 선형 변환에 관한 대수학.

0. 대수학: 대수적 구조를 연구하는 학문 분야; 집합과 그 위에 정의된 연산에 대한 규칙을 연구하는 학문
  * 대수: 수를 대신할 수 있는 모든 것
  * 대수적 구조: 일련의 연산들이 주어진 집합; 집합에 그것의 원소들을 변화시키는 함수들(연산자)이 주어진 것
    ** {A,B,C} 같은 단순한 집합은 수학적으로 할 수 있는게 많지 않음. 의미를 끌어내기 위해 구조를 부여
    ** 대다수의 대수적 구조들은 "구조가 주어진 집합"과 "구조를 보존하는 함수"의 쌍으로 정의된다.

1. 벡터 공간, 선형 공간 (V, +, •) 공리
cf) 수학에서의 벡터: 벡터 공간의 원소
(1) (V, +): 가환군
- 연산이 V 위에서 정의되어 있다 (닫혀 있다)
- 결합법칙 (예: x * y = 0 for all x,y)
- 항등원 (영벡터)
- 역원
- 교환법칙
(2) (V, +, •): 스칼라 곱, 임의의 체 F
- f: F × V -> V, f(a, v) = a • v가 정의되어 있다
- 항등원 곱: 1_F • v = v (1_F: 곱셈 항등원)
- 결합법칙
- 분배법칙 1, 2
- (참고) 체: (간단히 말하면) 사칙연산이 상식적인 수준에서 성립하는 구조, 기본값: 실수 집합

(다루진 않았지만 직관적으로 차원 생각)
V = R^n, F = R (O), V=2x2 행렬, F = R,C (O)
V = Z (X; 역원)
V = 다항식 차수<=2 또는 전체, F = R,C,F_2 (O)
V = R^n->R 모든 함수 또는 연속함수, F=R (O)
2. 선형,일차 변환,사상,연산자,작용소 f: V -> W
- V, W: 벡터공간, f: 선형성을 갖는 함수
- 선형성 정의 (1)
  * scaling: f(a * u) = a * f(u)
  * additivity: f(u + v) = f(u) + f(v)
- 선형성 정의 (2): 
  * f(a * u + b * v) = a * f(u) + b * f(v)
- 선형성, '중첩'의 원리: 벡터 공간의 성질을 보존
  * 함수의 입력에 대한 선형 결합(linear combination)으로도 함수를 표현할 수 있다
  * 여러 요인들이 성질을 유지하면서 겹쳐졌을 때, 어떠한 결과물이 나오는지 확인
  * 2차원 평면에서 동쪽, 북쪽이 있으면 모든 위치 표현 가능; 북동쪽 1칸 = 동쪽 1칸 + 북쪽 1칸

- 선형 변환의 모임 L(V, W) 또한 벡터 공간
  * dim(V)=n,dim(W)=m -> dim(L(V,W))=m×n
  * 선형대수학의 기본정리: 선형사상 <=> 행렬
    ** 즉, T(v) = Av for all v in V
    ** 선형 변환(함수) 문제를 행렬로 풀 수 있다.
      *** (예) 선형변환의 합성 -> 행렬의 곱셈

 

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무엇을 배우는가?
1. 행렬
- 행렬 기본 개념
  * 표기법, 실수배, 덧셈, 영행렬
  * 행렬곱
  * 정사각: 대각,삼각,전치,대칭,단위,역,멱영,멱등
- RREF matrix
  * 개념 및 정의
  * 가우스-요르단 소거법
- 행렬식
  * 순열 및 정의
  * 공식
- 역행렬 공식
2. 벡터 공간
- 정의(공리)
- 부분 벡터 공간

- 생성, 선형 독립, 기저, 차원

- 몫공간

- 쌍대공간
3. 선형사상 기본 개념
- 선형성(중첩의 원리)
- kernel, nullity, image, rank, 차원정리
- 선형대수학의 기본정리
4. 고유벡터 & 고윳값, 고유공간
5. 내적공간

- 내적

- 직교

- 정규직교기저

 

A. 기타

- positive (semi-)definite
- 행렬 분해

  * (P)LU,

  * Eigen

  * SVD  

  * NMF

- pseudoinverse

 

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어디에 쓸 수 있는가?