탄력성(elasticity) 정의, 수요의 가격 탄력성, 독점 기업의 수입(revenue) 극대화

 

 

[정의] y의 x 탄력성 (x-elasticity of y):

 

한 변수($x$)가 변화할 때 다른 변수($y$)가 얼마나 민감하게 반응하는지 확인

($x$의 변화에 따른 $y$의 상대적 변화량을 비율로 나타내는 값)

$$ {\varepsilon}_{y,x} := \frac {\partial y} {\partial x} \cdot \frac{x}{y} = \frac {\partial \ {log y}} {\partial \ {log x}} $$
$ \vert {\varepsilon}  \vert > 1 $: 탄력적(elastic)
$ \vert {\varepsilon}  \vert = 1 $: 단위 탄력적(unit elastic)
$ \vert {\varepsilon}  \vert < 1 $: 비탄력적(inelastic)



평균, 한계와 탄력성

 

2024.06.14 - [경제학/미시경제학] - 총(total), 평균(average), 한계(marginal)

총(total), 평균(average), 한계(marginal)

 

함수 $ y = f(x) $에 대해

$ x $의 평균 $ y $ (average $ y $ of $ x $): $ A(x) := \frac {y}{x} $
$ x $의 한계 $ y $ (marginal $ y $ of $ x $): $ M(x) := \frac { {\partial}{y} }  { {\partial}{x} } $ 
위 평균, 한계의 정의에서 탄력성은 (한계) / (평균)임을 알 수 있다.
$$ {\varepsilon}_{y,x} = \frac {\partial y} {\partial x} \cdot \frac{x}{y} = \frac {\partial y} {\partial x} / \frac{y}{x} = \frac {M(x)} {A(x)} $$



수요의 가격 탄력성 (PED; Price Elasticity of Demand)

가격(Price) $ P $ 및 수요량(Quantity Demanded) $ Q_d $가 있을 때,

수요의 가격 탄력성(PED) $ \varepsilon_d = \varepsilon_{Q_d, P} $은 아래와 같다.

$$  \varepsilon_d = {\frac {dQ_d} {dP}} / {\frac {Q_d}{P} } $$

• 일반적인 상황에서는 가격을 올리면 수요가 감소하므로, 탄력성 정의에 따라 (분자) < 0, (분모) > 0이 되어 탄력성이 음수가 된다. 많은 경우 편의상 -1을 곱해 양수로 정의하기도 하지만, 이 글에서는 그대로 사용함.
• 가격이라는 외부 변화가 수요라는 내적 반응을 어떻게 이끄는지를 설명: 가격의 미세한 변화가 수요량에 얼마나 큰 변화를 일으키는지 측정하는 개념
• 가격 전략을 결정하는 데 중요한 지표: 가격이 얼마나 영향을 미치는지에 대한 시장 반응을 나타냄, 수익 최적화를 위한 중요한 전략적 요소

(예1) 선형 수요곡선 (Linear Demand Curve) : $ Q_d = a - bP \ (a, b > 0 \ \text{는 상수}) $: 수요량은 가격 변화에 비례하여 일정하게 변함

분자에 해당하는 한계 $ \frac {dQ_d} {dP} = -b $는 모든 점에서 같지만,
분모에 해당하는 평균 $ \frac {Q_d} {P} = \frac {a - bP} {P} = \frac {a} {P} - b $가 달라지므로
$ \varepsilon_d = \frac {-b} {\frac{a}{P} - b} $도 달라진다.

$ \varepsilon_d = \frac {-b} {\frac{a}{P} - b} = -1 $인 점, 즉 단위 탄력적인 점은 $ P = \frac{a}{2b} , Q = \frac{a}{2} $이며,
$ P > \frac{a}{2b} $ ⇔ $ \frac{a}{P} < 2b $ ⇔ $ \varepsilon_d < -1 $ (탄력적)
$ P < \frac{a}{2b} $ ⇔ $ \frac{a}{P} > 2b $ ⇔ $ \varepsilon_d > -1 $ (비탄력적)

[참고] 선형 수요곡선 - 기하학적 관점

수요의 가격 탄력성 - 선형 수효곡선 그림

$  {\overline{AB}} $ 위 임의의 점 $ C $에 대해

한계: 모든 점에서 같으므로(∵ 선형) $ \frac {\Delta Q_d}{\Delta P} = - \frac {\overline{DC}} {\overline{AD}} $
평균: $ \frac {Q_d} {P} = \frac {\overline{OE}} {\overline{CE}} $

$ \vert \varepsilon_d \vert $
$ = \frac {\overline{DC}} {\overline{AD}} / \frac {\overline{OE}} {\overline{CE}} $
$ = \frac {\overline{CE}} {\overline{AD}} \ (\because \overline{DC} = \overline{OE} ) $
$ = \frac {\overline{CB}} {\overline{AC}} \ (\because \triangle ADC \sim \triangle CEB) $

따라서 $ \overline{AC} = \overline{CB} $일 때, 즉 $ \overline{AB} $ 의 중점에서 단위 탄력적이며,

중점 위쪽은 $ \overline{AC} < \overline{CB} $ ⇔ $ \vert \varepsilon_d \vert = \frac {\overline{CB}} {\overline{AC}} > 1 $이므로 탄력적,
중점 아래쪽은 $ \overline{AC} > \overline{CB} $ ⇔ $ \vert \varepsilon_d \vert = \frac {\overline{CB}} {\overline{AC}} < 1 $이므로 비탄력적이다.



(예2) 등탄력성(isoelastic): 모든 점에서 $ \varepsilon_d $가 같은 수요곡선(constant elasticity demand function)
(편의상 $ 0 < \vert \varepsilon_d \vert < \infty $인 경우만 고려)

$ \varepsilon_d = {\frac {dQ_d} {dP}} / {\frac {Q_d}{P} } = -b \ (b > 0)$
⇒ $ \frac{1}{Q_d} \frac{dQ_d}{dP} = - \frac{b}{P} $
⇒ $ \int { \frac{1}{Q_d} \frac{dQ_d}{dP} dP} = \int { - \frac{b}{P} dP} + C \ (C \text{: 적분상수})$ 
⇒ $ \int { \frac{1}{Q_d} dQ_d} = -b \int { \frac{1}{P} dP} + C $ 
⇒ $ \log Q_d = -b \ log P + C $ 
(또는 $ \varepsilon_d = \frac {d \ {log Q_d}} {d \ {log P}} = -b $에서 바로 알 수 있다.)

즉 수요곡선은 항상 $ \therefore Q_d = a P^{-b} \ (a = e^C > 0 \ \text{인 상수}) $의 꼴이다.

특별히 모든 점에서 단위 탄력적($ \varepsilon_d = -1$)인 곡선은 직각쌍곡선 $ Q_d = a / P \ (a>0)$ 이며,
이 경우 총 수입(Total Revenue)은 모든 점에서 $ TR:= P \cdot Q_d = a$ 로 항상 같다.

 

독점 기업의 수입 극대화 - 한계수입과 탄력성의 관계

 

(참고) 완전경쟁시장 가정 시 개별 기업이 시장 수요 또는 가격에 영향을 미칠 수 없으므로,

가격 $ P $는 상수이고

• 총 수입(Total Revenue) $ TR = PQ $
• 평균 수입(Average Revenue) $ AR = P $
• 한계 수입(Marginal Revenue) $ MR = P $

이다.

 

이제 가격 xor 생산량을 결정할 수 있는 독점기업을 생각해보면,

기업의 생산량이 시장 수요와 같으므로 $ P = P(Q)$ 이다. 즉 가격 $ P $가 $ Q $의 함수이다.

가장 수입을 많이 낼 수 있는 지점을 찾기 위해 
$$ MR := \frac {d} {dQ} (TR) = \frac {d} {dQ} (P \cdot Q) = { \frac {dP} {dQ} } \cdot Q + P $$
을 고려하면, 탄력성의 정의에서
$$ { \frac {dP} {dQ} } \cdot Q = { \frac {dP} {dQ} } \cdot { \frac {Q} {P} } \cdot P = \frac {1} { \varepsilon_d } \cdot P $$
이므로
$$ MR = \frac {1} { \varepsilon_d } \cdot P + P = P (\frac {1} { \varepsilon_d } + 1) $$
이다.

$ \varepsilon_d < -1 $이면 $ MR = \frac {d} {dQ} (TR) > 0 $이고,
$ P $ 감소 또는 $ Q $ 증가 → $ TR $ 증가
$ \varepsilon_d > -1 $이면 $ MR = \frac {d} {dQ} (TR) < 0 $이고,
$ P $ 증가 또는 $ Q $ 감소 → $ TR $ 증가

즉 가격이 단위 탄력적이지 않은 지점에서는 가격을 변경하여 총 수입을 증가시킬 수 있으며,
따라서 $ \varepsilon_d = -1 $인 지점이 수입을 극대화할 수 있는 지점이다.