총(total), 평균(average), 한계(marginal)

[정의] 총(total), 평균(average), 한계(marginal)

함수 $ y = f(x) $에 대해

• $ x $의 총 $ y $ (total $ y $ of $ x $): $ T(x) := y $
• $ x $의 평균 $ y $ (average $ y $ of $ x $): $ A(x) := \frac {y}{x} = \frac {T(x)}{x} $: 두 변수 간의 전체적인 관계
• $ x $의 한계 $ y $ (marginal $ y $ of $ x $): $ M(x) := \frac {dy}{dx} = \frac {d}{dx} T(x) $: 변화가 일어나는 지점에서의 관계

(예) 이변수함수 $ z = z(x_1, x_2) $의 한계는 $ Mz_1 = \frac {\partial z} {\partial x_1} = \frac {\partial {z(x_1, x_2)} } {\partial x_1} $, $ Mz_2 = \frac {\partial z} {\partial x_2} = \frac {\partial {z(x_1, x_2)} } {\partial x_2} $

[선형] $ z(x_1, x_2) = ax_1+bx_2 $ ⇒ $ Mz_1 = \frac {\partial z} {\partial x_1} = a $
[콥-더글라스(Cobb-Douglas)] $ z(x_1, x_2) = {x_1}^c {x_2}^d $ ⇒ $ Mz_1 = \frac {\partial z} {\partial x_1} = c{x_1}^{c-1}{x_2}^d $



평균과 한계의 관계

위 평균, 한계 정의에서 $ \frac{d}{dx} {A(x)} = \frac{1}{x} \ (M(x) - A(x) )$이다.
$ \text{i.e.} \ x>0 $이면

• 평균 증가 ⇔ $ \frac{d}{dx} {A(x)} > 0 $ ⇔ (한계) > (평균)
• 평균 일정 ⇔ $ \frac{d}{dx} {A(x)} = 0 $ ⇔ (한계) = (평균) 
• 평균 감소 ⇔ $ \frac{d}{dx} {A(x)} < 0 $ ⇔ (한계) < (평균)

 

(예1) 총수익과 한계수익의 관계

총수익은 가격과 수량의 곱으로 정의되며, 한계수익은 총수익의 변화

• 총수익 증가 ⇔ 한계수익 > 0
• 총수익 일정 ⇔ 한계수익 = 0 (총수익 극대화)
• 총수익 감소 ⇔ 한계수익 < 0

(예2) 경제적 최적화

한계비용(MC)과 평균비용(AC)을 비교하여 최적 생산량을 결정

• 한계비용 > 평균비용 ⇔ 생산량 증가
• 한계비용 = 평균비용 ⇔ 최적 생산량 (이윤 극대화)
• 한계비용 < 평균비용 ⇔ 생산량 감소

(예3) 한계효용과 평균효용의 관계

소비자의 최적 소비 결정을 이해

• 한계효용 > 평균효용 ⇔ 소비량 증가
• 한계효용 = 평균효용 ⇔ 최적 소비량
• 한계효용 < 평균효용 ⇔ 소비량 감소

(예4) 수요와 공급에서의 평균과 한계

수요의 가격 탄력성(Price Elasticity of Demand)과 한계와 평균의 관계는 시장의 가격 결정과 소비자 반응에 중요한 영향을 미침

• 수요의 가격 탄력성 > 평균 탄력성 ⇔ 가격 인상 → 수요 급격히 감소
• 수요의 가격 탄력성 = 평균 탄력성 ⇔ 가격 인상 → 수요 일정 감소
• 수요의 가격 탄력성 < 평균 탄력성 ⇔ 가격 인상 → 수요 미미하게 감소

https://datafisher.tistory.com/entry/%ED%83%84%EB%A0%A5%EC%84%B1elasticity-%EC%A0%95%EC%9D%98-%EC%88%98%EC%9A%94%EC%9D%98-%EA%B0%80%EA%B2%A9-%ED%83%84%EB%A0%A5%EC%84%B1-%EB%8F%85%EC%A0%90-%EA%B8%B0%EC%97%85%EC%9D%98-%EC%88%98%EC%9E%85Revenue-%EA%B7%B9%EB%8C%80%ED%99%94

탄력성(elasticity) 정의, 수요의 가격 탄력성, 독점 기업의 수입(revenue) 극대화